早大理工数学'25年[2]
xy平面上で、連立不等式
，
で定まる領域とy軸の
の部分を合わせた図形をDとする。Dに含まれる三角形の面積の最大値を求めよ。
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解答 難問とは言えませんが、「Dに含まれる三角形」という設定に悩まされます。以下では、Dに含まれる三角形そのものの最大を考えるのではなく、Dに含まれる三角形が、
の接線とx軸、y軸で囲む三角形Tに含まれることから、Tの面積の最大を考え、T最大のときの三角形がDに含まれることを確認します。
Dの境界線の1つは、
･･･①
です。
より、
のとき
･･･②
です。
D内に異なる3点をとり、その中でx座標が最大となる点、2点ある場合にはy座標が大きい方の点をP、もう1点をRとし、そのx座標を
(
です)とします。このとき、残る1点、即ち、そのx座標
が
となる点をQとします。3点のx座標がいずれも
、即ち
となることはありません。三角形ができなくなってしまうからです。
x座標が
となる点がPだけのときは残る2点のうち、Pと結んでできる直線の傾きの小さい方(傾きがともに負の場合は、傾きの絶対値が大きい方)が直線PQとなるように、2点をQ，Rとします。やはり、三角形ができなくなるので、PQとPRの傾きが一致することはありません。
ここで、Rが直線PQの下側にあることに注意して、直線PQの傾きが
以上かどうかで2通りに場合分けします。
・直線PQの傾きが
以上の場合(右上図の場合)
・直線PQの傾きが
より小さい場合(右下図の場合)曲線
の
における接線mの傾き
(②より
)が直線PQの傾きに一致するt が存在(直線PQと平行な接線が存在)します。この接線mは
を通るので、 
･･･③です。直線PQが接線mに一致することはありますが、線分PQが接線mよりも上に来ることはありません。△PQRがDに含まれなくなります。つまり、線分PQは接線mから下側にあります。Rは、直線PQの下側にあります。つまり、△PQRは、接線mとx軸、y軸で囲まれる三角形Tに含まれます。
以上より、△PQRは、一致する場合も含め、曲線
の
(
)における接線：
･･･③ のどれかとx軸，y軸とで囲まれる三角形Tに含まれます。
③とx軸との交点は
として、
，
③とy軸との交点は、
として、
△PQRの面積は、D内の3点
，
，
･･･④ で作られる三角形Tの面積S以下になります。Sは、
において
より、
とすると、
，
，
，
より、
の増減表は以下のようになります。
増減表より、
において、
は
のときに最大になりますが、このとき、④より三角形Tの3頂点は、
，
，
であり、この三角形はDに含まれています。よって、Dに含まれる三角形の面積の最大値は、
......[答]
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は、
の範囲にあるので、②より、線分PQは、曲線
の
における接線lから下側にあります(Pが曲線
上の点
にある場合、線分PQが接線l上に来ることもあります)。Rは、直線PQの下側にあります。つまり、△PQRは、接線lとx軸、y軸で囲まれる三角形Tに含まれます(
であって、Pが
，Qが
に来て、Rが原点Oの場合には、Tに一致します)。
