阪大理系数学'25年前期[1]
平面上の三角形OABを考える。
は鋭角、
，
とする。また、点Aから直線OBに下ろした垂線と直線OBの交点をCとし、
とする。線分ABを2：1に内分する点をP，点Aから直線OPに下ろした垂線と直線OBとの交点をRとする。
(1) 内積
をt を用いて表せ。 (2) 線分ORの長さをt を用いて表せ。
(3) 線分OBの中点をMとする。点Rが線分MB上にあるとき、t のとりうる値の範囲を求めよ。
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解答 まずは肩慣らしという、ベクトルと2次不等式の問題です。
(1) 
より(三角比を参照)、
......[答]
(2) Pは線分ABを2：1に内分する点なので、
O，R，Bは一直線上に並ぶので(ベクトルの1次独立を参照)、
(k：実数) ･･･①
とおけます。
より(内積を参照)、
より
なので、Rは、Oを除く半直線OB上の点です。
①より、
......[答]
(3) (2)の結果より、点Rが線分MB上 ⇔ 
･･･② ②で、
より
です。
②の左側の不等号より、 
･･･③②の右側の不等号より、
･･･④
，
より、つまり、
です。よって、③かつ④より、 
......[答]
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の解は
なので、
より、
と合わせて、
なので、
より、
と合わせて