阪大理系数学'25年前期[2]
pとmを実数とし、関数
は
で極大値をとり、
で極小値をとるとする。
(1) 
をpとmを用いて表せ。 (2) pとmが
を満たしながら動くとき、曲線
の変曲点の軌跡を求めよ。
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解答 阪大数学では頻出タイプの問題です。
が
で極大値をとり、
で極小値をとる(関数の増減を参照。また、
の係数が1なので、
です)ことから、
よって、
，
･･･①
です。
(∵ 
)
(基本対称式を参照)
(∵ ①)
......[答]
(2) (1)より、
は実数なので
･･･②3次関数
のグラフは変曲点に関して対称(3次関数のグラフを参照)で、変曲点は、極大点
と極小点
の中点です。よって、変曲点の座標
は
で与えられます。①より、変曲点のx座標は、
･･･③2次関数
のグラフの軸は
です。
変曲点のy座標について、
となりますが、これを確かめておきます。2次関数のグラフは軸
に関して対称なので、 ∴ 
よって、
です。
従って、①より、変曲点のy座標は、 
(∵ ③)②，③より、
，
，よって、 
の軌跡は、
......[答]
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