京大理系数学'26年前期[1]
aを1より大きい実数とし、kは実数とする。
において定義された関数を
とおく。
と
のグラフの共有点がちょうど2個存在するような実数の組
の集合を、座標平面上に図示せよ。ただし、
は自然対数とする。また、
が成り立つことを証明なしに用いてよい。
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解答 微分の計算問題です。
とおくと、
･･･①
です。
，
，
，
より、
です。①を微分して、
とすると、
より、
，
∴ 
において、
は単調減少で、
と
のグラフの共有点が2個になることはありません。・
のとき、
より、
，
より、
の増減表は以下のようになります。 
より、
，よって、
のグラフは右図のようになります。
において、
と
のグラフの共有点がちょうど2個存在するのは、グラフより(微分法の方程式への応用を参照)、
･･･②のときです。
のとき、
のグラフは単調減少で、
のとき
，
のとき
のグラフは単調減少で、
，
のとき
注．念のため、
(
)を確認しておきます。
とおくと、
，
のとき
の増減表は以下のようになります。増減表より、
において
(等号は
のとき)，
として、
(等号は
のとき) ∴ 
(等号は
のとき)，即ち
において、
②より、実数の組
の集合は、
かつ
，図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含まない)。
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のとき、
より、
において
，
より、
，
は、
において接します。
