東大物理'26年前期[3]
レンズによって物体の実像をスクリーン上に投影することを考える。ただし、レンズの厚みは無視できるものとする。
Ⅰ ここでは光が進む様子を光線としてとらえよう。図3-1のように、焦点距離がdの凸レンズ
を用いて、dに比べはるかに大きい距離D(
)にある高さHの物体Aの像を、スクリーンSに投影することを考える。
(1) スクリーンに明瞭な像を投影するためには、レンズ
とスクリーンSとの距離をレンズの焦点距離dと等しくすればよい。このことを、物体と実像とレンズの位置関係を表すレンズの式を用いて、簡潔に説明せよ。
(2)この結像について述べた下の文章の空欄(ア)，(イ)に入る式と語の組み合わせとして最も適当なものを、下の表の(a)～(f)のうちから一つ選べ。
(3) 光軸に平行で、かつ光軸から距離wだけ離れて
に入射する光線
に注目する。この光線は
により屈折して
の焦点
に向かうが、途中で
により再び屈折して、スクリーンS上の位置
で光軸と交わる。このとき、レンズ
の焦点距離を、dを用いて表せ。また、この光線がスクリーンに達する際に光軸となす角αに対して、
をd，wを用いて表せ。
(4) 図3-2で示したレンズ
および
による組み合わせレンズを、適切な位置に置いた単一の凸レンズに置き換えて、前問I(3)で注目した光線
を光軸となす角度αで点
を通過させることを考える。このとき、この凸レンズの焦点距離をdを用いて表せ。
(5) 実際に用いられる望遠レンズは、図3-2のようなレンズの構成となっていることが多い。単一の凸レンズを用いた場合と比較して、その利点を簡潔に述べよ。
Ⅱ 設問Iでは光の伝わり方を光線で示したが、実際には光は波であるために物体上の一点から出た単色光をレンズで投影しても、像がわずかにぼやける(ボケが生じる)。光の波長をλとしてこのボケの大きさを考えよう。図3-3のように、1枚の凸レンズLによって十分に遠方にある物体の像をスクリーンSに投影する場合を考える。レンズLの半径はRであり、焦点距離はdである。図のように十分遠方に置かれた物体の光軸上の一点から発せられた光はLに平面波として入射するが、Lを通過した後は球面波となって焦点Oに集束してゆく。Lを通過した直後の波面Wは、焦点Oを中心とする半径dの球面と考えてよい。 焦点Oを原点、光軸をx軸、スクリーンに沿ってy軸をとる。以下では
のとき、
の近似式を用いてよい。
(1) 図3-3に示されるように、波面W上のすべての点から焦点Oまでの距離は等しい。このため焦点Oには、レンズを通過した光はすべて同じ位相で到達し、点Oは明るくなる。一方、焦点Oの近傍の位置Q
では到達する際の光の位相は異なってくる。このとき波面 W上にあるレンズの端近傍の点
からQまでの距離を
，レンズ中央部の点
からQまでの距離を
とする。ここで角度βは直線
と光軸のなす角である。このとき光路差
を、dを用いずにx，y，βのみで表せ。ただし
であり、
とする。
(2) スクリーン上に点Q
があるとする。スクリーン上の像のボケの大きさは、前問II(1)で求めた光路差が光の半波長
となるときのQのy座標の値で与えられるものとする。このボケの大きさを、β，λを用いて表せ。
(3) 前問II(2)で、
，
，
のとき、ボケの大きさを求めよ。さらに物体とレンズ間の距離が
であるとき、このスクリーン上でのボケの大きさは、物体上でどれくらいの大きさに対応するか求めよ。
(4) スクリーンを焦点Oから光軸に沿ってレンズLに近づけたときに、ほぼ明瞭な物体の像を結ぶことができるスクリーン位置の許容範囲を考えよう。 この許容範囲は、点Qをx軸上で動かしたとき、設問Ⅱ(1)で求めた光路差 
が光の半波長
と等しくなるまでの範囲と考えるものとする。点Qの座標をQ
とするとき、この許容範囲を与えるxの値を、β，λを用いて表せ。
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解答 レンズの問題ですが、レンズに斜めに入射する光線、という教科書の記述にはない状況を扱うため、混乱した受験生もいたのではないでしょうか。
bdをかけて、
，
なので
を無視すると、
です。つまり、レンズ
とスクリーンSとの距離bをレンズの焦点距離dと等しくすればよい、ことになります。
(2) 右図より、h：d ＝ H：D ∴ 
これより、物体の像の大きさはdに比例し、物体の像を大きく投影するためには、焦点距離がより「長い」レンズを用いればよいことがわかります。
よって、(ア)は
，(イ)は「長い」で、(b) ......[答] 
(3) 右図のように、光軸に平行にレンズ
(中心をRとします)のA点に入射した光線
が、レンズ
で屈折して直進し、レンズ
のB点に入射し、さらにB点で屈折して、スクリーンS上の
で光軸と交わるとします。この光線は、レンズ
に斜めに入射するのですが、この場合のレンズ
での屈折方向は、以下のようにして考えます(レンズを参照)。
Qを通り、ABに平行な直線と、レンズ
との交点をC，レンズ
の
側の焦点を通り光軸と垂直な平面(焦点面と言います。レンズ
と焦点面との距離はレンズ
の焦点距離f です)との交点をDとします。B点で屈折した光線は、あたかも焦点面上のD点から出たかのように屈折して
に進みます。右図より、
：
＝
：
より、
：w = d：
∴ 
･･･①AB // CQより、
，
焦点面上において、D点と光軸との距離をxとします。x：f ＝ 
：
∴ 
･･･②
また、焦点面と
との距離は
です。①より、
：x ＝ 
：
∴ 
②より、
，
∴ 
......[答]
より、
......[答]
(4) (1)に沿って考えると、単一凸レンズの焦点距離
は、レンズとスクリーンの距離に等しく、光線
と光軸のなす角がαのまま
を通過するので、(3)の結果を用いて、
∴ 
......[答]
(5) レンズ
，
の組み合わせのときのレンズ
とスクリーンの距離は
です。単一レンズにすると、これが
になります。つまり、レンズ
，
の組み合わせとする利点は、 望遠鏡の長さを短くできる。 ......[答]
Ⅱ(1) 
とQ
の距離
は、
，
を無視し、問題文の近似式を用いて、 
......[答]
(2) スクリーン上に点Qがあるとき、(1)の結果で
として光路差は、
ボケの大きさ、即ち、光路差が
に等しいときのQのy座標の値は、 
∴ 
......[答]
(3) 図3-3より、レンズ上の屈折点とOとの距離が
であることに注意して、 (2)の結果より、ボケの大きさは、
......[答]物体とレンズとの距離は
，レンズのスクリーンの距離は
，レンズの倍率は、
，よって、スクリーン上でのボケの大きさに対応する物体上での大きさは、
......[答] (4) 点Qをx軸上で動かすので、(1)の結果で
として、
光路差
が半波長
に等しくなるとき、
許容範囲を与えるxの値は、
......[答]
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各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
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の中央を通る光は直進することに注意すると、スクリーンS上の像の高さhは
となる。これより、スクリーン上に物体の像をより大きく投影するためには、焦点距離が、より
レンズを用いればよいことがわかる。
実際のカメラの望遠レンズ(十分遠方の物体の像を大きく投影するレンズ)の構成について考えよう。図3-2は凸レンズ
と凹レンズ
を用いて、図の右側の十分遠方に置かれた物体の明瞭な像をスクリーンSに投影する様子を示している。凸レンズ
の焦点距離は
であり、それぞれのレンズとスクリーンとの間の距離は図3-2に示すとおりである。
とQ
の距離
は、同様に、
において、
，
とすると、