東京大学 2026 年前期物理入試問題 【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
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[1] 路面上を走る一輪車の運動を考えよう。図 1-1 のように、一輪車と搭乗者を、 動力が内蔵された車輪が先端に付いた剛体棒としてモデル化する。 この剛体棒は太さと密度が一様であり、その長さ、質量はそれぞれ L ， m である。車輪の大きさと質量は考えなくてよい。ここでは、車輪と路面間にはたらく摩擦力は静止摩擦力のみとし、その静止摩擦係数をμとする。この車輪付き剛体棒がすべらずに運動するとき、剛体棒は車輪と路面間の摩擦力を介して加速、減速する。重力加速度の大きさを Ⅰ まず、剛体棒が水平面上で等加速度直線運動をする場合を考える。図 1-1 のように、剛体棒が進行方向に加速するとき、車輪と路面の間ですべらずに加速することができる加速度の大きさの最大値を求めよ。
Ⅱ 次に、図 1-2 のように剛体棒が水平な路面上で円運動をする場合を考える。図 1-3 は、図 1-2 中の剛体棒を進行方向の真後ろから見た図である。円運動の中心軸から車輪と路面の接触点までの水平距離を R とする。ここで、
(1) 図 1-3 において、剛体棒と水平面がなす角を θ とする。剛体棒が速さ R ， (2) 前問Ⅱ (1) において、剛体棒がすべらずに等速円運動をすることができる速さの最大値を (3) 速さ ( で等速円運動をしている状態から、半径 R を保ったまま、剛体棒を進行方向に一定の加速度の大きさ a でごく短時間のあいだ加速させる。このとき、車輪と路面の間にはたらく静止摩擦力の大きさを求めよ。ただし、車輪と路面間にすべりは生じていないものとする。 (4) 前問Ⅱ (3) において、剛体棒がすべることなく加速できる a の最大値を求めよ。
III 最後に、図 1-4 のように剛体棒がすりばち状の路面上を円運動する場合を考える。図 1-5 は、図 1-4 中の剛体棒を進行方向の真後ろから見た図である。路面と水平面のなす角を φ ( とする。また、設問Ⅱと同様に円運動の中心軸から剛体棒と路面の接触点までの水平距離を R とする。 (1) 図 1-5 において、剛体棒と水平面がなす角を θ とする。剛体棒が速さ で等速円運動をしている場合の R ， φ のうち必要なものを用いて表せ。 (2) 剛体棒がすべらずに等速円運動をすることができる速さの最大値を (3) 高速道路のカーブや競輪のコースでは , 外側が高くなるように勾配がついている。この理由について、設問Ⅱ (2) およびⅢ (2) の結果にもとづいて簡潔に述べよ。 [ 解答へ ] [2] 図 2-1 のような、円形レール上を回転する導体棒を含む回路を考える。導体でできた半径 l の円形レールが水平面上に設置され、中心点には導電性の回転軸が設置されている。それらの上には、質量をもつ導体棒が渡してある。導体棒は、その一端が回転軸で支持されており、もう一端を円形レールに接触させたまま水平面内で回転することができる。円形レールと回転軸は、それぞれ端子 P と端子 O で抵抗や切り替えスイッチ等に接続されている。抵抗の値は R である。円形レール内には、磁束密度 B の一様な磁場が、鉛直上向き ( 紙面の裏から表の向き ) にかけられている。ただし、円形レールの太さや回転軸の大きさは無視できるものとする。導体棒は変形せず、円形レールと回転軸以外には接触しない。 摩擦や空気抵抗、円形レールや導体棒の電気抵抗や接触抵抗、回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとする。 Ⅰ スイッチを開放したまま導体棒を一定の角速度 O と端子 P の間に起電力 α を用いて α を l ， B を用いて答えよ。符号は問わない。
Ⅱ 導体棒を静止した状態に戻したうえで、スイッチを端子 X に入れ、電圧 V の直流電源に接続した。直流電源の内部抵抗は無視できるものとする。
(1) スイッチを端子 X に入れた直後に導体棒の回転軸周りにはたらく力のモーメントの大きさを V ， l ， B ， R を用いて表せ。符号は問わない。ただし、導体棒は太さが一定であり、一様な密度をもつものとする。
(2) その後、導体棒が回転軸の周りを回転し始めた。図 2-1 の ( あ ) ， ( い ) のどちら向きに回転したか答えよ。
(3) 十分時間が経過した後、導体棒は一定の角速度 V ， α ， l ， B ， R から必要なものを用いて表せ。符号は問わない。 Ⅲ 設問Ⅱ (3) のように導体棒が角速度 , スイッチを端子 Y に切り替え、容量 1 に接続する。導体棒の回転は徐々に緩やかになり、十分に時間が経過した後、一定の角速度 1 に蓄えられているエネルギーを α ， l ， B ， から必要なものを用いて表せ。ただし、最初はコンデンサー 1 には電荷は蓄えられていなかったものとする。 Ⅳ 設問Ⅱ，Ⅲの操作の結果は、図 2-2 のように、端子 O-P 間の部分を仮想コンデンサー ( コンデンサー 2) とみなすことでも理解できる。コンデンサー 2 は実際のコンデンサーと同様の性質をもつ。つまり、端子間の電圧
(1) 物体が回転しているとき、その物体は回転による運動エネルギーをもつ。 導体棒が一定の角速度 ω で回転しているとき、その運動エネルギーは、定数βを用いて 2 に静電エネルギーとして蓄えられていると解釈するとき、 ω ， α ， β を用いて表せ。 (2) 図 2-2 において設問Ⅱ，Ⅲと同じ操作を考える。すなわち、スイッチを端子 X に入れて十分時間が経過した後、 スイッチを端子 Y に切り替え、十分に時間を経過させる。この操作の結果、コンデンサー 1 に蓄えられているエネルギーを V ， Y に切り替えた後、 コンデンサー 1 とコンデンサー 2 に蓄えられる電荷の和は変化しないと考えてよい。 (3) 設問Ⅲと設問Ⅳ (2) の結果から、設問Ⅲの V ， α ， [ 解答へ ] [3] レンズによって物体の実像をスクリーン上に投影することを考える。ただし、レンズの厚みは無視できるものとする。 Ⅰ ここでは光が進む様子を光線としてとらえよう。図 3-1 のように、焦点距離が d の凸レンズ d に比べはるかに大きい距離 D (にある高さ H の物体 A の像を、スクリーン S に投影することを考える。 (1) スクリーンに明瞭な像を投影するためには、レンズ S との距離をレンズの焦点距離 d と等しくすればよい。このことを、物体と実像とレンズの位置関係を表すレンズの式を用いて、簡潔に説明せよ。
(2) この結像について述べた下の文章の空欄 ( ア ) ， ( イ ) に入る式と語の組み合わせとして最も適当なものを、下の表の (a) ～ (f) のうちから一つ選べ。
(3) 光軸に平行で、かつ光軸から距離 w だけ離れて S 上の位置 d を用いて表せ。また、この光線がスクリーンに達する際に光軸となす角 α に対して、 d ， w を用いて表せ。
(4) 図 3-2 で示したレンズ I(3) で注目した光線 α で点 d を用いて表せ。
(5) 実際に用いられる望遠レンズは、図 3-2 のようなレンズの構成となっていることが多い。単一の凸レンズを用いた場合と比較して、その利点を簡潔に述べよ。
Ⅱ 設問 I では光の伝わり方を光線で示したが、実際には光は波であるために物体上の一点から出た単色光をレンズで投影しても、像がわずかにぼやける ( ボケが生じる ) 。光の波長を λ としてこのボケの大きさを考えよう。図 3-3 のように、 1 枚の凸レンズ L によって十分に遠方にある物体の像をスクリーン S に投影する場合を考える。レンズ L の半径は R であり、焦点距離は d である。図のように十分遠方に置かれた物体の光軸上の一点から発せられた光は L に平面波として入射するが、 L を通過した後は球面波となって焦点 O に集束してゆく。 L を通過した直後の波面 W は、焦点 O を中心とする半径 d の球面と考えてよい。 焦点 O を原点、光軸を x 軸、スクリーンに沿って y 軸をとる。以下では
(1) 図 3-3 に示されるように、波面 W 上のすべての点から焦点 O までの距離は等しい。このため焦点 O には、レンズを通過した光はすべて同じ位相で到達し、点 O は明るくなる。一方、焦点 O の近傍の位置 Q では到達する際の光の位相は異なってくる。このとき波面 W 上にあるレンズの端近傍の点 Q までの距離を Q までの距離を β は直線 d を用いずに x ， y ， β のみで表せ。ただし
(2) スクリーン上に点 Q があるとする。スクリーン上の像のボケの大きさは、前問 II(1) で求めた光路差が光の半波長 Q の y 座標の値で与えられるものとする。このボケの大きさを、 β ， λ を用いて表せ。
(3) 前問 II(2) で、
(4) スクリーンを焦点 O から光軸に沿ってレンズ L に近づけたときに、ほぼ明瞭な物体の像を結ぶことができるスクリーン位置の許容範囲を考えよう。 この許容範囲は、点 Q を x 軸上で動かしたとき、設問Ⅱ (1) で求めた光路差 が光の半波長 Q の座標を Q とするとき、この許容範囲を与える x の値を、 β ， λ を用いて表せ。 [ 解答へ ] 【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
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とする。空気抵抗は無視してよい。
[1] 路面上を走る一輪車の運動を考えよう。図1-1 のように、一輪車と搭乗者を、 動力が内蔵された車輪が先端に付いた剛体棒としてモデル化する。 この剛体棒は太さと密度が一様であり、その長さ、質量はそれぞれL，mである。車輪の大きさと質量は考えなくてよい。ここでは、車輪と路面間にはたらく摩擦力は静止摩擦力のみとし、その静止摩擦係数をμとする。この車輪付き剛体棒がすべらずに運動するとき、剛体棒は車輪と路面間の摩擦力を介して加速、減速する。重力加速度の大きさを
Ⅱ 次に、図1-2のように剛体棒が水平な路面上で円運動をする場合を考える。図1-3は、図1-2中の剛体棒を進行方向の真後ろから見た図である。円運動の中心軸から車輪と路面の接触点までの水平距離をRとする。ここで、
であり、剛体棒が傾くことによる重心の円運動軌道の半径の変化は無視してよい。また、簡単のため剛体棒の進行方向への傾きは考えなくてよい。
で等速円運動をしている場合の
を
，R，
のうち必要なものを用いて表せ。
とする。
を求めよ。
(
)で等速円運動をしている状態から、半径Rを保ったまま、剛体棒を進行方向に一定の加速度の大きさaでごく短時間のあいだ加速させる。このとき、車輪と路面の間にはたらく静止摩擦力の大きさを求めよ。ただし、車輪と路面間にすべりは生じていないものとする。
III 最後に、図1-4のように剛体棒がすりばち状の路面上を円運動する場合を考える。図1-5は、図1-4中の剛体棒を進行方向の真後ろから見た図である。路面と水平面のなす角をφ(
)とする。また、設問Ⅱと同様に円運動の中心軸から剛体棒と路面の接触点までの水平距離をRとする。
であり、剛体棒が傾くことによる重心の円運動軌道の半径の変化は無視してよい。また、簡単のため剛体棒の進行方向への傾きは考えなくてよい。
で等速円運動をしている場合の
を
，R，
，φのうち必要なものを用いて表せ。
とする。
を求めよ。ただし
とする。
[2] 図2-1のような、円形レール上を回転する導体棒を含む回路を考える。導体でできた半径lの円形レールが水平面上に設置され、中心点には導電性の回転軸が設置されている。それらの上には、質量をもつ導体棒が渡してある。導体棒は、その一端が回転軸で支持されており、もう一端を円形レールに接触させたまま水平面内で回転することができる。円形レールと回転軸は、それぞれ端子Pと端子Oで抵抗や切り替えスイッチ等に接続されている。抵抗の値はRである。円形レール内には、磁束密度Bの一様な磁場が、鉛直上向き(紙面の裏から表の向き)にかけられている。ただし、円形レールの太さや回転軸の大きさは無視できるものとする。導体棒は変形せず、円形レールと回転軸以外には接触しない。 摩擦や空気抵抗、円形レールや導体棒の電気抵抗や接触抵抗、回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとする。
で回転させたところ、端子Oと端子Pの間に起電力
が生じた。この起電力は、係数αを用いて
と表される。微小な時間内に導体棒が横切る領域を貫く磁束を考え、係数αをl，Bを用いて答えよ。符号は問わない。
で回転し続けた。この角速度
の大きさをV，α，l，B，Rから必要なものを用いて表せ。符号は問わない。
で回転している状態で, スイッチを端子Yに切り替え、容量
を持つコンデンサー1に接続する。導体棒の回転は徐々に緩やかになり、十分に時間が経過した後、一定の角速度
で回転し続けた。このとき、コンデンサー1に蓄えられているエネルギーを
，α，l，B，
から必要なものを用いて表せ。ただし、最初はコンデンサー1には電荷は蓄えられていなかったものとする。
Ⅳ 設問Ⅱ，Ⅲの操作の結果は、図2-2のように、端子O-P間の部分を仮想コンデンサー(コンデンサー2)とみなすことでも理解できる。コンデンサー2は実際のコンデンサーと同様の性質をもつ。つまり、端子間の電圧
，仮想的な容量
と仮想的な電荷
の間の関係式、および蓄えられる静電エネルギーは、実際のコンデンサーと同じ式で表される。
と表すことができる。これに等しいエネルギーがコンデンサー2に静電エネルギーとして蓄えられていると解釈するとき、
と
を、それぞれω，α，βを用いて表せ。
，
を用いて表せ。ここで、スイッチを端子Yに切り替えた後、 コンデンサー1とコンデンサー2に蓄えられる電荷の和は変化しないと考えてよい。
をV，α，
，
を用いて表せ。
Ⅰ ここでは光が進む様子を光線としてとらえよう。図3-1のように、焦点距離がdの凸レンズ
を用いて、dに比べはるかに大きい距離D(
)にある高さHの物体Aの像を、スクリーンSに投影することを考える。
とスクリーンSとの距離をレンズの焦点距離dと等しくすればよい。このことを、物体と実像とレンズの位置関係を表すレンズの式を用いて、簡潔に説明せよ。
の中央を通る光は直進することに注意すると、スクリーンS上の像の高さhは
となる。これより、スクリーン上に物体の像をより大きく投影するためには、焦点距離が、より
レンズを用いればよいことがわかる。
実際のカメラの望遠レンズ(十分遠方の物体の像を大きく投影するレンズ)の構成について考えよう。図3-2は凸レンズ
と凹レンズ
を用いて、図の右側の十分遠方に置かれた物体の明瞭な像をスクリーンSに投影する様子を示している。凸レンズ
の焦点距離は
であり、それぞれのレンズとスクリーンとの間の距離は図3-2に示すとおりである。
に入射する光線
に注目する。この光線は
により屈折して
の焦点
に向かうが、途中で
により再び屈折して、スクリーンS上の位置
で光軸と交わる。このとき、レンズ
の焦点距離を、dを用いて表せ。また、この光線がスクリーンに達する際に光軸となす角αに対して、
をd，wを用いて表せ。
および
による組み合わせレンズを、適切な位置に置いた単一の凸レンズに置き換えて、前問I(3)で注目した光線
を光軸となす角度αで点
を通過させることを考える。このとき、この凸レンズの焦点距離をdを用いて表せ。
Ⅱ 設問Iでは光の伝わり方を光線で示したが、実際には光は波であるために物体上の一点から出た単色光をレンズで投影しても、像がわずかにぼやける(ボケが生じる)。光の波長をλとしてこのボケの大きさを考えよう。図3-3のように、1枚の凸レンズLによって十分に遠方にある物体の像をスクリーンSに投影する場合を考える。レンズLの半径はRであり、焦点距離はdである。図のように十分遠方に置かれた物体の光軸上の一点から発せられた光はLに平面波として入射するが、Lを通過した後は球面波となって焦点Oに集束してゆく。Lを通過した直後の波面Wは、焦点Oを中心とする半径dの球面と考えてよい。 焦点Oを原点、光軸をx軸、スクリーンに沿ってy軸をとる。以下では
のとき、
の近似式を用いてよい。
では到達する際の光の位相は異なってくる。このとき波面 W上にあるレンズの端近傍の点
からQまでの距離を
，レンズ中央部の点
からQまでの距離を
とする。ここで角度βは直線
と光軸のなす角である。このとき光路差
を、dを用いずにx，y，βのみで表せ。ただし
であり、
とする。
があるとする。スクリーン上の像のボケの大きさは、前問II(1)で求めた光路差が光の半波長
となるときのQのy座標の値で与えられるものとする。このボケの大きさを、β，λを用いて表せ。 
，
，
のとき、ボケの大きさを求めよ。さらに物体とレンズ間の距離が
であるとき、このスクリーン上でのボケの大きさは、物体上でどれくらいの大きさに対応するか求めよ。
が光の半波長
と等しくなるまでの範囲と考えるものとする。点Qの座標をQ
とするとき、この許容範囲を与えるxの値を、β，λを用いて表せ。